Modelos de Autómatas Celulares para simular la propagación de enfermedades infecciosas

Autores: Ortigoza Capetillo Gerardo Mario, Lorandi Medina Alberto Pedro

Completo

Introducción
A lo largo de su historia, la humanidad ha sufrido el embate de las enfermedades infecciosas. Un relato ancestral es el de las plagas de Egipto y la salida de los judíos hacia la tierra prometida documentado en la Biblia (Libro de Éxodo). Un factor decisivo de la victoria de Cortés y su ejército sobre los aztecas, se debió en gran parte a la viruela, a la cual los españoles tenían inmunidad adquirida. En 1350 aparece por primera vez la peste bubónica en Europa, que con sus sucesivas apariciones acabó con casi un tercio de la población de este continente. En 1881, el primer intento de construir el Canal de Panamá tuvo como tropiezo miles de muertes por Fiebre Amarilla y Malaria entre los escoceses. Fue hasta 1907 que se logró la construcción, cuando los mosquitos (vectores) fueron erradicados de la zona. Los modelos matemáticos pueden usarse entre otras aplicaciones, para trazar el avance de una enfermedad infecciosa, el contar con un resultado probable de la distribución de infectados permite a las autoridades sanitarias su intervención. Los modelos usan suposiciones básicas (físicas y/o biológicas) y matemáticas para hallar parámetros relativos a diversas enfermedades infecciosas, estos parámetros pueden usarse para calcular el efecto de posibles intervenciones tales como aislamiento, cercos sanitarios, cuarentenas o programas de vacunación masiva. El trabajo de Daniel Bernoulli contra la viruela (1) es considerado el primer modelo matemático epidemiológico, contenía la idea de mortalidad diferencial para estimar la tasa de muerte asociada a una enfermedad. Los primeros cimientos de la epidemiología matemática datan de principios del siglo XX y son sustentados por los trabajos de médicos en salud pública y biólogos tales como: W.H. Hamer (2) quien aplicó la ley de acción de masas para explicar el comportamiento epidémico, R. A. Ross (3) demostró que los mosquitos eran responsables por la transmisión de la malaria y construyó un modelo para estudiar su esparcimiento; McKendrick y Kermack (4) proponen en sus trabajos modelos de compartimentos, donde la población es ubicada en grupos que comparten características relevantes con respecto a la transmisión de la enfermedad : susceptible, infectado y recuperado. Un aporte importante del modelo de McKendrick y Kermack es un teorema que demuestra la existencia de una constante R0 muy importante en epidemiología y conocida como número reproductivo básico (considerada como el número promedio de casos nuevos que genera un individuo infeccioso en una población susceptible durante el tiempo que permanece infeccioso). Su magnitud determina si una enfermedad desaparece (R0<1); es decir el número de individuos infecciosos decrecerá hasta llegar a cero; o si se presenta un brote epidémico, en este caso el número de individuos infecciosos crece (R0>1), alcanzando un máximo, y posteriormente decrece a cero. Las campañas de vacunación buscan disminuir el número reproductivo básico, evitando que se rebase este valor umbral. En los modelos de compartimentos se hacen suposiciones acerca de la naturaleza y la tasa de tiempo de transferencia de un compartimento a otro. Enfermedades que confieren inmunidad tienen una estructura de compartimento diferente de aquellas que no dan inmunidad, así como a las que se transmiten por medio de vectores. Las razones de transferencia entre compartimentos se expresan como derivadas de los tamaños de los compartimentos con respecto al tiempo, así los modelos inicialmente son representados por ecuaciones diferenciales. Modelos en los cuales las razones de transferencia dependen del tamaño de los compartimentos en un instante dado así como de su pasado nos llevan a modelos más generales tales como: ecuaciones funcionales y ecuaciones integrales. La gran mayoría de los modelos matemáticos usados para simular epidemias son basados en ecuaciones diferenciales ordinarias. Estos modelos tienen algunas desventajas puesto que no incluyen las características locales del proceso de propagación. En particular fallan en simular apropiadamente los procesos de contacto individual, los efectos del comportamiento individual, los aspectos espaciales del proceso de propagación, así como los efectos de patrones de mezcla y densidad de individuos. Montesinos (5), Casals et al. (6), Chen (7), Fresnadillo et al. (8), Brauer et al. (9), Brauer (10) realizan interesantes revisiones de los modelos más usados en la propagación de enfermedades infecciosas. Este trabajo se enfoca en modelos de autómata celular empleados en la propagación de enfermedades, se identifican sus orígenes en los autómatas definidos sobre grafos, se diferencian algunos modelos que conocemos como determinísticos o como probabilísticos así como algunas relaciones entre modelos de ecuaciones diferenciales y autómatas celulares; el trabajo está organizado de la siguiente manera: en la sección 2 se presenta una revisión de los modelos de autómatas celulares empleados en la modelación y simulación de propagación de diversas enfermedades, se presenta también la definición de autómata celular, así como un patrón general de modelo de autómata celular que se ha empleado para simular la propagación de enfermedades, la sección 3 nos muestra una clasificación de los modelos presentados donde se diferencian modelos deterministas y probabilísticos; identificando los casos donde se simulan escenarios hipotéticos así como los intentos por ajustar el modelo de autómata celular a datos reales así como medidas para reducir la propagación; finalmente en la sección 4 se incluyen reflexiones de los retos y futuras aplicaciones de autómatas celulares en la simulación de la propagación de enfermedades.

Autómatas Celulares y modelo básico para la propagación de enfermedades
Los autómatas celulares tienen aplicaciones que abarcan aspectos de la ciencia tan diversos como: mecánica de fluidos, medio ambiente: polución, incendios forestales; sistemas biológicos: evolución de las especies, crecimiento de poblaciones, comportamiento de colonias de microorganismos, sistemas inmunes, vida artificial; modelos socio-económicos, urbanismo, tráfico, procesos económicos, modelos de reacciones químicas, patrones de pigmentación de piel, construcción de fractales, criptografía, propagación de enfermedades entre otros. Un autómata celular es un modelo matemático para un sistema dinámico discreto en espacio y tiempo, se compone de los siguientes elementos:

  • Una rejilla cuadriculada,  a cada celda de la cuadrícula se le conoce como célula.
  • Existen también rejillas regulares definidas por triángulos equiláteros o hexágonos.
  • Cada célula puede tomar un valor en un conjunto finito de estados.
  • Cada célula está influenciada por su vecindad, definida como un conjunto finito de células que la rodean.
  • Los tipos más comunes de vecindades son Neumann y Moore.
  • Configuración inicial. Es la asignación inicial de un estado a cada una de las células del espacio.
  • El autómata celular evoluciona en tiempo mediante la evaluación de una función de transición ( f ) la cual se aplica a cada célula de la rejilla y devuelve un valor dependiendo de la célula así como de su vecindad. La función de transición puede ser determinista o probabilística. Las reglas son definidas de tal manera que todas las celdas de la rejilla actualizan sus valores simultáneamente a través de la rejilla en cada paso de tiempo. Una variante es suprimir esta restricción para permitir actualizaciones asíncronas. Cabe mencionar que, puesto que el dominio computacional es finito, un brote de infección al propagarse eventualmente alcanza la frontera, así es necesario imponer condiciones de frontera. Las condiciones de frontera más populares son las nulas (fijas) y las periódicas.

Modelo básico de Autómata Celular para la propagación de enfermedades
Uno de los primeros modelos de autómata celular para la propagación de enfermedades es el de Rhodes y Anderson (11), en su trabajo asumen mallas rectangulares, cada celda es un individuo, se consideran tres estados: susceptible, infectado y recuperado, así como probabilidades de infección y de recuperación, su modelo estuvo inspirado en el trabajo de Boccara y Cheong (12) quienes usaron una red de puntos en lugar de una cuadrícula. Posteriormente aparecen trabajos como los de: Ahmed et al. (13) quienes usan un autómata celular para modelar la propagación de la Hepatitis B, Fuentes y Kuperman (14) estudian el comportamiento estacional de modelos SIR y SIS considerado dependencia espacial, Sirakoulis et al. (15) en su modelo de propagación de enfermedades incluyen movimientos de la población así como el efecto de vacunación, Fuk y Lawniczak Hokky (16) investigan con su modelo de autómatas los efectos de las no-homogeneidades espaciales y la distribución inicial de infectados y vacunados, Hokky (17) presenta un autómata celular para la modelación de la propagación de influenza aviar en Indonesia, Mikler et al. (18) usan un modelo global estocástico e incorporan interacciones geográficas y demográficas, Quan-Xing y Zhen (19) proponen un modelo SEIRS basado en autómata celular mientras que en Zhen y Quan-Xing (20) presentan un modelo autómata celular con heterogeneidad espacial , Yuan et al. (21) así como Jin et al. (22) usan modelos de autómata celular para simular la propagación de SARS, Gagliardi et al. (23) proponen un modelo para simular dengue, Venkatachalam et al. (24) proponen un simulador para modelos SIS y SEIR basados en autómata celular, Zhen et al. (25) proponen un modelo de autómata celular para modelar el sars en China. Los primeros modelos de autómata celular para propagación de infecciones asumían un individuo por cada celda, pero a partir del trabajo de Hoya White et al. (26) se comienzan a usar celdas con una cantidad de individuos tomando proporciones de infectados o recuperados con respecto al número total de susceptibles, ellos presentan un modelo de autómata celular determinista donde cada celda contiene una porción de la población y simulan efectos de vacunación así como en otro de sus trabajos White et al. (26) donde asumen población homogénea, la propagación de gripe aviar es modelada por Pfeifer et al. (27), Slimi at.al (28) modelan la propagación de chagas, Merlo (29) propone un autómata celular sobre grafos para un modelo SEIR, López et al. (30) proponen un modelos de autómata celular para la evolución en tiempo de la propagación de una enfermedad en una población heterogénea, Misici y Santarelli (31) muestran como definir un modelo de autómata celular a partir del ajuste de los parámetros de un modelo SIR en ecuaciones diferenciales, Senthil et al. (32) simulan escena- rios de vacunación y evacuación en áreas infectadas, Holko et al. (33) usan un mapa de densidades de población para su autómata celular, Shu Yang et al. (34) realizan una simulación de la distribución del VIH/Sida usando autómata celular y un SIG. Pereira y Schimit (35) usan dos rejillas (una para los humanos y otra para los vectores) para modelar la propaga- ción de dengue, Senthil et al. (32) usan una regla de voto en autómata celular para modelar la propagación de Leptospi- rosis, Delvalle et al.. (36) Implementan un autómata celular para simular influenza AH1Nx, Fresnadillo et al. (8) definen un modelo SIS en mallas rectangulares y hexagonales, Cisse et al. (2013) estudian el impacto de la estructura de las vecindades en la propagación de una enfermedad, Guan et al. (37) usan vecindades extendidas para estudiar la propaga- ción de enfermedades, Senthil et al. (32) usan un apilamiento para guardar el número de infectados en tiempos anterio- res y así modelar infección latente, Schneckenreither et al.
(38) hacen un estudio comparativo de modelos de epidemias SIR usando autómatas celulares, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . En general, la popularidad de los autómatas celulares se debe principalmente a que pueden fácilmente implementarse en computadora, esto permite puedan incluirse como proyectos de clases mismos que posteriormente pueden ser estudiados con más detalles au- mentando su complejidad Fu y Milne (39), Chang (40). Un modelo básico para la propagación de enfermedades inicia por dividir el espacio en celdas, tradicionalmente se usan celdas rectangulares, la gran mayoría de modelos clasifica la población en compartimentos digamos: Susceptibles, infectados y recuperados. Para un autómata determinista a cada tiempo los valores de las celdas se actualizan dependiendo solo del valor en la celda y sus celdas vecinas, las vecindades más comúnmente usadas son de tipo Moore y Neumann. Para modelos probabilísticos se definen probabilidades de infección pi y de recuperación pr ; así una celda susceptible se infecta con probabilidad p  y está se modifica de acuerdo a 1-(1-p  )Nb   donde N   es el número de vecinos infectados, mientras que una celda infectada se recupera con probabilidad pr. Se asume una configuración inicial de infectados y se proceden a avanzar en tiempo en pasos discretos. En el caso probabilístico para dar una respuesta se realizan diversas simulaciones y se presenta el promedio de ellas.

Clasificación de modelos de autómata celular usados en la propagación de enfermedades infecciosas
En la sección anterior mencionamos algunos de los modelos de autómatas celulares más importantes aplicados a la propagación de enfermedades. En la tabla siguiente clasificamos estos modelos para los casos de: tipo de retículas utilizadas, modelos determinismos o probabilísticos, simulación de escenario hipotéticos o ajuste de datos a casos reales, así como aquellos que proponen medidas para disminuir la propagación (barreras, vacunación, aislamiento, intervención médica). De la tabla 1 podemos observar que, la gran mayoría de los modelos revisados de autómata celular están definidos sobre rejillas rectangulares, son modelos probabilísticos, simulan casos hipotéticos y aproximadamente el 50% de ellos incluyen medidas para disminuir la propagación. Principalmente se originan partiendo de modelos de compartimentos, los trabajos de Misici et.al. (31) así como de Schneckenreither (38) son importantes ya que presentan formas de ajustar y relacionar respectivamente los modelos de autómatas celulares con modelos de ecuaciones diferenciales, estos últimos han sido ampliamente utilizados y sus parámetros ajustados a los datos reales Chowell (41), Mamo y Koya (42).

Discusión
Algunos de los retos que enfrentan los modelos de propagación de enfermedades son la población heterogénea y la distribución heterogénea, más aún la movilidad de la población. Con autómatas celulares se pueden considerar celdas habitadas o deshabitadas, así como una cantidad variable de individuos en cada celda. Para modelar la movilidad de individuos en un área de estudio (dividida en diferentes regiones) se pueden usar datos de teléfonos móviles para realizar estimaciones de distancias de movilidad, así como funciones de probabilidad para estimar la fracción de individuos que pueden moverse. Las celdas rectangulares, hexagonales y triangulares equiláteras (celdas estructuradas) usadas en métodos tradicionales de autómata celular sufren de anisotropía en la propagación, esto puede remediarse mediante el uso de rejillas triangulares no estructuradas como las mallas usadas en elementos finitos Ortigoza (43). Algunos autores como Zhong et al. (44) proponen el uso de autómatas celulares basados en geoentidades (las celdas son regiones geográficas); por otra parte las técnicas de elemento finito proveen la descomposición de dominios así como el mallado triangular no estructurado para reducir la anisotropía a la vez que permiten modelar la movilidad de individuos (intercambiando celdas en diferentes dominios). Es deseable geolocalizar puntos de infección, para ello se recomendable incorporar sistemas de información geográfica Zhong et al. (44), los cuales resultan convenientes para definir polígonos (área de estudio) y con ello una malla y así discretizar el área de estudio. Bases de datos con clasificaciones de tipo y/o uso de suelo (por ejemplo urbano y rural) así como densidades de población, clasificación por grupo de edades y otra información geosocial relevante pueden incorporarse a un modelo de autómata celular no estructurado. Puesto que el número de celdas aumenta con el tamaño del área de estudio, es indispensable reducir el tiempo de cómputo, esto puede lograrse utilizando una implementación en paralelo ya sea usando maquinas de memoria distribuida (mpi) o máquinas de memoria compartida (OpenMp), Maniatty et al. (45), Arotaritei et al. (46), Bandini et al. (47). En lo que respecta al ajuste de los modelos a los datos reales, la World Health Organization publica bases de datos con reportes de casos de contagios para diferentes enfermedades en varios países. Sin embargo, en la gran mayoría de los países en desarrollo el sistema de reporte de contagio empleado por las agencias de salud no es tan eficiente, esto trae como consecuencia que muy a menudo los datos de casos reportados en estos países se alejan de la realidad observada durante un brote epidémico. Existen unos cuantos paquetes de cómputo especializados en la simulación de propagación de enfermedades que usan el método de autómata celular, entre ellos podemos mencionar a EpiCViz Wei Luo (48) y EpiCA (https://github. com/MFarmer/EpiCA). Una excelente revisión de paquetes computacionales para la simulación de enfermedades puede encontrarse en Heslop et al. (49).

Conclusiones
El uso de mallas triangulares no estructuradas reduce la anisotropía inducida por las rejillas estructuradas en la propagación de información, los métodos de autómata celular para modelar propagación de enfermedades deben apoyarse en los sistemas de información geográfica sig, ya que estos últimos proveen valiosa información como tipo suelo, densidades de población, tipo de población, etc. Más aún, los sistemas de información geográfica cuentan con formatos TIN (Triangular Irregular Network) donde una región puede describirse mediante mallas triangulares no estructuradas, lo cual es muy apropiado para usar autómatas celulares no estructurados. Puesto que el número de celdas aumenta con el tamaño de la región, es deseable usar cómputo en paralelo para reducir los tiempos de ejecución. El trabajo de Misici et al. (31) es valioso ya que permite calibrar los modelos de autómata celular con los modelos continuos en ecuaciones diferenciales, éstos últimos ampliamente utilizados con sus parámetros ajustados a casos reales.

Palabras clave: Propagación enfermedades autómata celular modelos.

2021-09-25   |   54 visitas   |   Evalua este artículo 0 valoraciones

Vol. 13 Núm.2. Julio-Diciembre 2018 Pags. 6-12 Rev Invest Cien Sal 2018; 13(2)